Rectas secante y tangente

Si dos puntos distintos P(( x0,y0)) y Q((x1,y1)) están sobre la curva y=f((x)), la pendiente de la recta secante que conecta en los dos puntos es $${ m }_{ sec }=\frac { y1-y0 }{ x1-x0 } =\frac { f\left( x1 \right) -f\left( x0 \right)  }{ x1-x0 }$$

Si dejamos que x1 tienda a x0, entonces Q tendrá a P a lo largo de la gráfica de f. La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q tenderá gradualmente a la pendiente de la recta tangente en P a medida que x1 tiende a x0. En el límite, la ecuación anterior se convierte en $${ m }_{ tan }=\lim _{ x1\rightarrow x0 }{ \frac { f\left( x1 \right) -f\left( x0 \right)  }{ x1-x0 }  }$$ 

Si hacemos h= x1-x0, entonces x1=+h y h -->0 a medida que x1-->x0. Podemos reescribir el límite como

$${ m }_{ tan }=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x0+h \right) -f\left( x0 \right)  }{ h }  }$$

Cuando el límite existe, su valor mtan es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x0,y0).

Ejemplo

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función (f(x)) = (X^3) en el puto ((2,8)).

Como ((X0, Y0)) = ((2,8)), al usar la fórmula de la pendiente de la recta tangente $${ m }_{ tan }=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x0+h \right) -f\left( x0 \right)  }{ h }  }$$ obtenemos $${ m }_{ tan }=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( 2+h \right) -f\left( 2 \right)  }{ h }  }$$ $$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( { h }^{ 3 }+{ 6h }^{ 2 }+12h+8 \right) -8 }{ h }  }$$