Acá se mostraran varios ejercicios de Limites algebraicos con su solución y explicación.
Ejercicio #1
$$\lim _{ h\to 0 } \frac { (2+h)^{ 3 }-8 }{ h } =\frac { { (2+0) }^{ 3 }-8 }{ 0 } =\frac { 8-8 }{ 0 } =\frac { 0 }{ 0 }$$
Este ejercicio de se realiza con una diferencia de cubos ya que por el método de sustitución arrojó una indeterminación osea $$\frac{0}{0}$$ y la diferencia de cubos es $${ a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 }=\quad \left( a-b \right) \left( { a }^{ 2 }+ab+{ b }^{ 2 } \right) $$ y el ultimo 8 se transforma en una potencia como lo es $${ 2 }^{ 3 }$$
$$\lim_{h\to 0} \frac {[(2+h)-2][(2+h)^2 + (2+h)+2^3]}{h}$$
$$\lim_{h\to 0} \frac {(2+h-2)[(2+h)^2 +(2+h)+2^3]}{h}$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{(h)[(2+h)^2 +(2+h)+2^3]}{h}$$
$$\lim_{h\to 0} [(2+h)^2 +(2+h)+2^3]$$
De allí se empieza a solucionar despejando el primer paréntesis para que quede en una sola expresión.
$$\lim_{h\to 0} \frac {(2+h-2)[(2+h)^2 +(2+h)+2^3]}{h}$$
Se cancelan los 2 y se queda sólo la h de la primer expresión
$$\lim_{h\to 0} \frac{(h)[(2+h)^2 +(2+h)+2^3]}{h}$$
La h del numerador, en la primera expresión, se cancela con la h del denominador.
$$\lim_{h\to 0} [(2+h)^2 +(2+h)+2^3]$$
En este punto se empieza ha sustituir y ha desarrollar el ejercicio por medio del valor sustituyente que es 0
$$2\quad +\quad { 0 }^{ 2 }\quad +\quad 0\quad +\quad { 2 }^{ 3 }$$
$$=\quad 4+2+8$$
$$=\quad 14$$
Este ejercicio es uno de los más fáciles ya que se hace por el método de sustitución y arroja un resultado verdadero.
$$\lim_{x\to 2} x^{2}+3x-5$$
$$\quad 2^{ 2 }+3(2)-5$$
$$=5$$
$$=\quad 14$$
Ejercicio #2
Este ejercicio es uno de los más fáciles ya que se hace por el método de sustitución y arroja un resultado verdadero.
$$\lim_{x\to 2} x^{2}+3x-5$$
$$\quad 2^{ 2 }+3(2)-5$$
$$=5$$
Ejercicio #3
Ejercicio #4
Ejercicio #4
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